La trigonométrie est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs dans les triangles. Bien au-delà de son rôle en géométrie plane, elle constitue une base incontournable pour des domaines comme la physique, les sciences de l’ingénieur et la modélisation mathématique. Pour les étudiants en prépa ECG, la maîtrise des formules trigonométriques est essentielle pour réussir les concours et comprendre des théories complexes en maths approfondies ou en mathématiques appliquées.
Dans cet article, nous te proposons un tour d’horizon des principales formules de trigonométrie ainsi que des conseils pour les assimiler efficacement. Tu peux retrouver sur le site les programmes officiels de maths approfondies et de maths appliquées en prépa ECG !
Qu’est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie repose sur l’étude des relations entre les angles et les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus et la tangente. Ces fonctions périodiques décrivent les oscillations, les rotations et les transformations, jouant un rôle clé dans l’analyse mathématique et les modèles physiques.
Les principales fonctions trigonométriques
Définitions dans le cercle trigonométrique
- Sinus : $\sin(\theta)$ est l’ordonnée du point correspondant à l’angle $\theta$ sur le cercle unité.
- Cosinus : $\cos(\theta)$ est l’abscisse de ce point.
- Tangente : $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, définie sauf lorsque $\cos(\theta) = 0$.
Relations fondamentales
- Identité de Pythagore : $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
- Tangente et secante : $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$.
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Les principales formules trigonométriques
Formules d’addition et de soustraction
- $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
- $\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)$
- $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)$
- $\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
- $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}$
- $\tan(a – b) = \frac{\tan(a) – \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$
Formules de duplication
- $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
- $\cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a) = 2\cos^2(a) – 1 = 1 – 2\sin^2(a)$
- $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 – \tan^2(a)}$
Formules de réduction d’amplitude
- $\sin(a) = \pm\sqrt{1 – \cos^2(a)}$
- $\cos(a) = \pm\sqrt{1 – \sin^2(a)}$
Formules de conversion produit-somme
- $\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a – b) – \cos(a + b)]$
- $\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a – b) + \cos(a + b)]$
- $\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)]$
Résolution d’équations trigonométriques
Équations triviales
- $\sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
- $\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
- $\tan(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
Équations simples en trigonométrie
Pour résoudre des équations simples, comme $\sin(x) = \cos(x)$, il est utile de transformer l’équation avec les identités fondamentales. Exemple :
$\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$.
On espère que cet article pourra te servir de fiche afin de retenir facilement les principales formules trigonométriques. Pour ne rien rater de nos articles sur PrépaECG, abonne-toi à notre compte Instagram !
