L’épreuve de Mathématiques Appliquées Ecricome 2026 s’est déroulée le mardi 14 avril 2026 de 8h à 12h, pour les candidats de la série ECG (option Sciences sociales). Durée : 4 heures, sans calculatrice ni document autorisé. Le sujet comportait 11 pages, avec des annexes Python et SQL en fin d’énoncé. Voici la présentation des exercices et les pistes de réflexion pour les aborder, dans l’attente du corrigé officiel Ecricome.
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Présentation générale du sujet
Le sujet 2026 s’articule autour de trois exercices indépendants couvrant les grands thèmes du programme de Mathématiques Appliquées ECG : probabilités et statistiques avec informatique (Exercice 1), analyse et séries entières (Exercice 2), algèbre linéaire et systèmes différentiels (Exercice 3). Chaque exercice mêle démonstrations mathématiques et questions de programmation Python ou SQL, ce qui est caractéristique de cette épreuve depuis la réforme du programme ECG.
Note : les éléments ci-dessous sont des pistes de réflexion personnelles proposées par la rédaction de Prépa ECG. Ils ne constituent pas un corrigé officiel et doivent être confrontés au corrigé Ecricome lorsque celui-ci sera publié.
Exercice 1 : probabilités discrètes, covariance et informatique
Le contexte du problème
L’exercice est construit autour d’un particulier qui choisit une compagnie d’assurances sur un site de comparaison listant n compagnies classées de la meilleure (rang 1) à la moins bonne (rang n). La première année, il choisit une compagnie au hasard avec équiprobabilité. La seconde année, il choisit uniformément parmi les compagnies au moins aussi bien classées que celle de l’année précédente.
On note X le rang de la compagnie choisie la première année, et Y le rang de la compagnie choisie la seconde année. L’exercice explore la loi conjointe du couple (X, Y), leurs moments, leur covariance, puis aborde une étude asymptotique de la probabilité de rester fidèle à la même compagnie. Plusieurs questions Python et SQL ponctuent l’exercice.
Pistes de réflexion
Questions 1 à 3 (loi de X et loi conjointe). Une piste consiste à remarquer que X suit une loi uniforme sur {1, …, n}. Pour la loi conjointe, on peut conditionner par X : sachant X = j, Y est uniforme sur {1, …, j}. L’inversion de l’ordre de sommation dans les doubles sommes est une technique à avoir en tête.
Questions 4 et 5 (loi marginale de Y et espérance). Pour la loi marginale de Y, on peut sommer les probabilités conjointes sur tous les j ≥ k. L’espérance s’obtient ensuite par calcul de somme double, en s’appuyant sur l’identité suggérée par la question 5a.
Questions 6 et 7 (covariance et indépendance). Le calcul de E(XY) à partir de la loi conjointe, combiné à E(X) et E(Y) obtenus précédemment, permet de déterminer Cov(X, Y). L’étude du signe de la covariance donne une piste pour conclure sur la non-indépendance de X et Y.
Questions 8c et 8d (Python et identification graphique). La fonction Myst semble calculer le coefficient de corrélation linéaire à partir de la matrice de covariance numpy. Pour identifier la droite d’ajustement parmi les tracés proposés, deux contraintes utiles à mobiliser : la droite des moindres carrés passe par le point moyen, et sa pente a le signe de la corrélation.
Question 9 (probabilité asymptotique). Une piste est de remarquer que l’événement A_n correspond à X = Y, puis de relier P(A_n) à la somme harmonique. Un encadrement par ln(n) et un théorème d’encadrement peuvent permettre d’obtenir le comportement asymptotique attendu.
Questions 10 (SQL). Les requêtes semblent mobiliser les classiques de la syntaxe SQL : COUNT avec condition WHERE, INNER JOIN entre deux tables sur un identifiant commun, et agrégations AVG / GROUP BY pour les moyennes par groupe.
Exercice 2 : analyse, développements limités et séries entières
Le contexte du problème
L’exercice est centré sur la fonction f définie par f(x) = ln(1/(1−x)), étudiée sous trois angles complémentaires. La Partie I explore les propriétés analytiques classiques de f (domaine, variations, développement limité). La Partie II introduit la suite de fonctions S_n(x) = Σ(k de 1 à n) x^k/k et étudie la convergence de la série associée. La Partie III relie ces deux objets via un reste intégral R_n(a) et débouche sur une approximation numérique de ln(2).
Pistes de réflexion
Partie I (étude de f). On peut reconnaître f(x) = −ln(1 − x), fonction classique définie sur ]−∞, 1[. Une piste pour le DL d’ordre 2 en 0 consiste à utiliser le DL usuel de −ln(1 − u) avec u = x. La position par rapport à la tangente se déduit du signe du terme de second ordre.
Partie II (convergence de Σ x^k/k). En x = 1, on retrouve la série harmonique. Pour |x| < 1, une comparaison avec la série géométrique semble appropriée. En x = −1, une piste classique est d’étudier les sous-suites de rangs pairs et impairs et de montrer qu’elles sont adjacentes, ce qui permet de conclure à la convergence de la série alternée.
Partie III (reste intégral et approximation de ln(2)). La relation f(a) = S_n(a) + R_n(a) peut probablement se démontrer par récurrence avec une intégration par parties. Un encadrement de R_n(a) permettra ensuite de conclure sur la vitesse de convergence. Le choix a = 1/2 offre une approximation de ln(2) généralement plus rapide que la série alternée en x = −1.
Exercice 3 : systèmes différentiels et matrices nilpotentes
Le contexte du problème
L’exercice aborde les systèmes différentiels linéaires à travers deux prismes. La Partie I résout un problème de Cauchy à deux équations couplées par une méthode directe, avec introduction d’une fonction auxiliaire. La Partie II analyse la structure matricielle du système via une matrice A, introduit une forme de Jordan J = P⁻¹AP et utilise ce changement de base pour résoudre le système. La Partie III généralise aux matrices nilpotentes et à leur exponentielle matricielle tronquée.
Pistes de réflexion
Partie I (problème de Cauchy). Une piste consiste à introduire s(t) = x(t) + y(t) et à étudier s'(t). Si s se révèle constante, la substitution y(t) = s(0) − x(t) ramène le problème à une équation différentielle du premier ordre en x.
Partie II (structure matricielle et forme de Jordan). L’étude du polynôme caractéristique de A permet d’identifier les valeurs propres. Un calcul de dimension de l’espace propre peut montrer que A n’est pas diagonalisable. La forme de Jordan J = [[0,1],[0,0]] est nilpotente d’indice 2, et la résolution du système transformé Y'(t) = JY(t) se fait par intégration successive sur les composantes.
Partie III (matrices nilpotentes et exponentielle matricielle). Pour une matrice nilpotente N d’indice p, la somme B(t) = Σ(k=0 à p−1) t^k/k! · N^k est finie. C’est l’analogue de l’exponentielle matricielle dans ce cadre, et elle fournit la solution du système X'(t) = NX(t). Pour la partie Python, on peut s’appuyer sur np.eye, np.dot et np.linalg.matrix_power.
Conseils du jury Ecricome (rapport 2025)
Le rapport officiel du jury Ecricome 2025 sur l’épreuve de Mathématiques Appliquées livre des enseignements méthodologiques valables chaque année. En 2025, la moyenne s’établissait à 11,2 sur 20 avec un écart-type de 6, ce qui indique une épreuve sélective mais accessible aux candidats préparés. Voici les recommandations à retenir, classées par nature des erreurs les plus fréquentes.
Forme de la copie
Le soin de la copie est décisif. Le jury rappelle explicitement qu’une réponse illisible est par défaut considérée comme erronée. Numéroter très proprement chaque question, passer une ligne ou tracer un trait entre deux questions pour faciliter la lecture du correcteur.
Pas d’abréviations, même limpides. Les abréviations (cv pour convergence, dvt pour développement, etc.) sont systématiquement sanctionnées. Elles n’ont pas leur place dans une copie de concours selon le rapport 2025.
Ne pas paraphraser l’énoncé. Recopier ou reformuler la question fait perdre du temps et rend parfois impossible de distinguer la paraphrase du raisonnement effectif. On entre directement dans la démonstration.
Rigueur des notations et du vocabulaire
Ne pas confondre un ensemble et ses éléments. Une erreur fréquente en 2025 consistait à confondre la définition d’un ensemble avec la relation que vérifient ses éléments. Pour définir un sous-ensemble E, la bonne forme est E = {M ∈ F tel que M vérifie la relation R}.
Stabilité par combinaison linéaire ≠ linéarité d’une application. Pour montrer qu’un sous-ensemble F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier (1) 0_E ∈ F, (2) F stable par addition, (3) F stable par multiplication externe. Cette démonstration est souvent confondue avec la preuve de linéarité d’une application selon le jury.
Polynôme annulateur et valeurs propres. Si P est un polynôme annulateur d’une matrice A, alors Sp(A) ⊂ racines(P). L’implication inverse est FAUSSE en général. Il faut vérifier séparément que chaque racine du polynôme annulateur est bien une valeur propre de A, en exhibant un vecteur propre ou en calculant le noyau de A − λI.
Produit matriciel non commutatif. L’identité (A + M)² = A² + 2AM + M² est FAUSSE en général : le bon développement est (A + M)² = A² + AM + MA + M². Elle n’est vraie que lorsque A et M commutent, ce qui n’est pas donné par défaut. Cette erreur a été très fréquente en 2025.
Convergence des intégrales impropres
Protocole complet à chaque fois. Pour justifier la convergence d’une intégrale impropre, le jury attend systématiquement (1) la continuité de la fonction sur l’intervalle d’intégration, (2) son signe (positivité ou non), (3) l’application d’un critère (comparaison, négligeabilité, équivalent). Le raccourci « la limite tend vers 0 donc l’intégrale converge » est FAUX et systématiquement sanctionné.
Équivalents usuels à maîtriser. L’erreur d’écrire que t^n·e^(−t) est équivalent à 1/t² en +∞ est récurrente. Le bon réflexe : t^n·e^(−t) est négligeable devant 1/t² en +∞ par croissance comparée, ce qui donne la convergence par comparaison avec une intégrale de Riemann.
Croissances comparées : citer la formule exacte. « lim ln(u)/u = 0 quand u → +∞ » est la formule du cours à invoquer explicitement. Le « par croissance comparée » sans référence précise est pénalisé selon le rapport 2025.
Limite de l’intégrale ≠ intégrale de la limite. On ne peut pas intervertir limite et intégrale sans théorème. Lorsqu’on cherche la limite d’une intégrale impropre dépendant d’un paramètre, il faut passer par un encadrement ou un théorème d’interversion, jamais par un passage à la limite direct sous l’intégrale.
Ne pas confondre croissance et linéarité de l’intégrale, ni croissance et relation de Chasles. Ce sont trois propriétés distinctes à citer avec le bon nom.
Probabilités et densités
Définition d’une densité. Pour prouver qu’une fonction f est une densité, il faut (1) f continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points, (2) f positive, (3) l’intégrale de f sur R converge et vaut 1. En 2025, beaucoup d’étudiants ont expédié la continuité ou oublié la convergence de l’intégrale.
Espérance : convergence absolue. Pour prouver l’existence de E(X), il faut démontrer la convergence absolue de l’intégrale impropre, et non simplement calculer sa valeur. La convergence absolue est une condition explicite du cours, pas un détail technique.
Fonction de répartition : traiter tous les cas. Lors du calcul d’une loi par fonction de répartition, traiter séparément x < 0 et x ≥ 0 (ou selon le support), préciser la fonction de répartition des lois usuelles utilisées, et surveiller le signe lors des manipulations d’inégalités.
Événements conditionnels. L’écriture [Z ≤ x]_{[Y=i]} n’a pas de sens mathématique. Utiliser la notation P([Z ≤ x] ∩ [Y=i]) / P([Y=i]) ou P([Z ≤ x] | [Y=i]).
Python et SQL
Utiliser la fonction demandée, pas une autre. Si l’énoncé impose numpy.random.random(), ne pas utiliser binomial() ou une autre fonction même équivalente. Le jury est explicite sur ce point dans le rapport 2025.
SQL : comprendre les concepts, pas juste écrire en anglais. Le jury 2025 a été très sévère sur les jointures et les clés primaires. Une clé primaire est un attribut (ou combinaison d’attributs) qui identifie de façon unique chaque ligne. Un nom de personne seul n’est pas une bonne clé primaire (plusieurs personnes peuvent porter le même nom). Les INNER JOIN doivent être syntaxiquement corrects : ON pour la jointure, WHERE uniquement pour le filtrage.
Tracés graphiques
Mettre des unités sur les axes. Sans unités, le correcteur ne peut pas lire les valeurs clés (F(0), tangentes, asymptotes). Faire les courbes assez grandes et tracer les tangentes correctement, pas « au hasard » comme le déplore le jury 2025.
Gestion du temps et stratégie
Ne pas bâcler pour en faire beaucoup. Le jury est catégorique : il vaut mieux traiter moins de questions mais BIEN, que multiplier les réponses approximatives. Une copie fournie n’est pas forcément une bonne copie. Bâcler les raisonnements est contre-productif.
Exploiter les questions de cours. Dans chaque exercice, le jury insère des questions de difficulté variée, notamment des questions de connaissance du cours simples qui permettent de prendre des points sûrs. Les repérer dès la lecture et ne pas les négliger.
Ne pas négliger les questions Python et SQL. Les questions informatiques sont souvent plus accessibles que les questions de démonstration pure. Elles représentent plusieurs points faciles à prendre et ne nécessitent pas de maîtriser la démonstration des questions précédentes. Même un candidat bloqué sur une question théorique peut répondre à une question de simulation ou de requête SQL.
Lire l’intégralité de l’exercice avant de commencer. Plusieurs questions sont guidées par des indications (« on pourra procéder par récurrence », « on pourra écrire a − t = (a − 1) + (1 − t) »). Ces indications sont précieuses et peuvent débloquer des questions qui semblent difficiles à première vue.
Répartir le temps sur les trois exercices. L’épreuve est structurée en trois exercices de valeur sensiblement égale. Il est essentiel de ne pas s’enliser sur un seul exercice et de garder du temps pour aborder les deux autres, même partiellement.
Soigner la rédaction. Le jury de Mathématiques Appliquées valorise explicitement la qualité rédactionnelle dans son barème. Une réponse partiellement juste mais bien rédigée sera mieux notée qu’une réponse correcte mais incompréhensible. Chaque affirmation doit être justifiée par une référence au cours ou à une question précédente.
