Télécharger (PDF) : 01 MATH APPLIQUÉES 2026

Présentation générale du sujet

Le sujet 2026 s’articule autour de trois exercices indépendants couvrant les grands thèmes du programme de Mathématiques Appliquées ECG : probabilités et statistiques avec informatique (Exercice 1), analyse et séries entières (Exercice 2), algèbre linéaire et systèmes différentiels (Exercice 3). Chaque exercice mêle démonstrations mathématiques et questions de programmation Python ou SQL, ce qui est caractéristique de cette épreuve depuis la réforme du programme ECG.

Note : les éléments ci-dessous sont des pistes de réflexion personnelles proposées par la rédaction de Prépa ECG. Ils ne constituent pas un corrigé officiel et doivent être confrontés au corrigé Ecricome lorsque celui-ci sera publié.

Exercice 1 : probabilités discrètes, covariance et informatique

Le contexte du problème

L’exercice est construit autour d’un particulier qui choisit une compagnie d’assurances sur un site de comparaison listant n compagnies classées de la meilleure (rang 1) à la moins bonne (rang n). La première année, il choisit une compagnie au hasard avec équiprobabilité. La seconde année, il choisit uniformément parmi les compagnies au moins aussi bien classées que celle de l’année précédente.

On note X le rang de la compagnie choisie la première année, et Y le rang de la compagnie choisie la seconde année. L’exercice explore la loi conjointe du couple (X, Y), leurs moments, leur covariance, puis aborde une étude asymptotique de la probabilité de rester fidèle à la même compagnie. Plusieurs questions Python et SQL ponctuent l’exercice.

Pistes de réflexion

Questions 1 à 3 (loi de X et loi conjointe). Une piste consiste à remarquer que X suit une loi uniforme sur {1, …, n}. Pour la loi conjointe, on peut conditionner par X : sachant X = j, Y est uniforme sur {1, …, j}. L’inversion de l’ordre de sommation dans les doubles sommes est une technique à avoir en tête.

Questions 4 et 5 (loi marginale de Y et espérance). Pour la loi marginale de Y, on peut sommer les probabilités conjointes sur tous les j ≥ k. L’espérance s’obtient ensuite par calcul de somme double, en s’appuyant sur l’identité suggérée par la question 5a.

Questions 6 et 7 (covariance et indépendance). Le calcul de E(XY) à partir de la loi conjointe, combiné à E(X) et E(Y) obtenus précédemment, permet de déterminer Cov(X, Y). L’étude du signe de la covariance donne une piste pour conclure sur la non-indépendance de X et Y.

Questions 8c et 8d (Python et identification graphique). La fonction Myst semble calculer le coefficient de corrélation linéaire à partir de la matrice de covariance numpy. Pour identifier la droite d’ajustement parmi les tracés proposés, deux contraintes utiles à mobiliser : la droite des moindres carrés passe par le point moyen, et sa pente a le signe de la corrélation.

Question 9 (probabilité asymptotique). Une piste est de remarquer que l’événement A_n correspond à X = Y, puis de relier P(A_n) à la somme harmonique. Un encadrement par ln(n) et un théorème d’encadrement peuvent permettre d’obtenir le comportement asymptotique attendu.

Questions 10 (SQL). Les requêtes semblent mobiliser les classiques de la syntaxe SQL : COUNT avec condition WHERE, INNER JOIN entre deux tables sur un identifiant commun, et agrégations AVG / GROUP BY pour les moyennes par groupe.

Exercice 2 : analyse, développements limités et séries entières

Le contexte du problème

L’exercice est centré sur la fonction f définie par f(x) = ln(1/(1−x)), étudiée sous trois angles complémentaires. La Partie I explore les propriétés analytiques classiques de f (domaine, variations, développement limité). La Partie II introduit la suite de fonctions S_n(x) = Σ(k de 1 à n) x^k/k et étudie la convergence de la série associée. La Partie III relie ces deux objets via un reste intégral R_n(a) et débouche sur une approximation numérique de ln(2).

Pistes de réflexion

Partie I (étude de f). On peut reconnaître f(x) = −ln(1 − x), fonction classique définie sur ]−∞, 1[. Une piste pour le DL d’ordre 2 en 0 consiste à utiliser le DL usuel de −ln(1 − u) avec u = x. La position par rapport à la tangente se déduit du signe du terme de second ordre.

Partie II (convergence de Σ x^k/k). En x = 1, on retrouve la série harmonique. Pour |x| < 1, une comparaison avec la série géométrique semble appropriée. En x = −1, une piste classique est d’étudier les sous-suites de rangs pairs et impairs et de montrer qu’elles sont adjacentes, ce qui permet de conclure à la convergence de la série alternée.

Partie III (reste intégral et approximation de ln(2)). La relation f(a) = S_n(a) + R_n(a) peut probablement se démontrer par récurrence avec une intégration par parties. Un encadrement de R_n(a) permettra ensuite de conclure sur la vitesse de convergence. Le choix a = 1/2 offre une approximation de ln(2) généralement plus rapide que la série alternée en x = −1.

Exercice 3 : systèmes différentiels et matrices nilpotentes

Le contexte du problème

L’exercice aborde les systèmes différentiels linéaires à travers deux prismes. La Partie I résout un problème de Cauchy à deux équations couplées par une méthode directe, avec introduction d’une fonction auxiliaire. La Partie II analyse la structure matricielle du système via une matrice A, introduit une forme de Jordan J = P⁻¹AP et utilise ce changement de base pour résoudre le système. La Partie III généralise aux matrices nilpotentes et à leur exponentielle matricielle tronquée.

Pistes de réflexion

Partie I (problème de Cauchy). Une piste consiste à introduire s(t) = x(t) + y(t) et à étudier s'(t). Si s se révèle constante, la substitution y(t) = s(0) − x(t) ramène le problème à une équation différentielle du premier ordre en x.

Partie II (structure matricielle et forme de Jordan). L’étude du polynôme caractéristique de A permet d’identifier les valeurs propres. Un calcul de dimension de l’espace propre peut montrer que A n’est pas diagonalisable. La forme de Jordan J = [[0,1],[0,0]] est nilpotente d’indice 2, et la résolution du système transformé Y'(t) = JY(t) se fait par intégration successive sur les composantes.

Partie III (matrices nilpotentes et exponentielle matricielle). Pour une matrice nilpotente N d’indice p, la somme B(t) = Σ(k=0 à p−1) t^k/k! · N^k est finie. C’est l’analogue de l’exponentielle matricielle dans ce cadre, et elle fournit la solution du système X'(t) = NX(t). Pour la partie Python, on peut s’appuyer sur np.eye, np.dot et np.linalg.matrix_power.

Conseils du jury Ecricome (rapport 2025)

Le rapport officiel du jury Ecricome 2025 sur l’épreuve de Mathématiques Appliquées livre des enseignements méthodologiques valables chaque année. En 2025, la moyenne s’établissait à 11,2 sur 20 avec un écart-type de 6, ce qui indique une épreuve sélective mais accessible aux candidats préparés. Voici les recommandations à retenir, classées par nature des erreurs les plus fréquentes.

Forme de la copie

Le soin de la copie est décisif. Le jury rappelle explicitement qu’une réponse illisible est par défaut considérée comme erronée. Numéroter très proprement chaque question, passer une ligne ou tracer un trait entre deux questions pour faciliter la lecture du correcteur.

Pas d’abréviations, même limpides. Les abréviations (cv pour convergence, dvt pour développement, etc.) sont systématiquement sanctionnées. Elles n’ont pas leur place dans une copie de concours selon le rapport 2025.

Ne pas paraphraser l’énoncé. Recopier ou reformuler la question fait perdre du temps et rend parfois impossible de distinguer la paraphrase du raisonnement effectif. On entre directement dans la démonstration.

Rigueur des notations et du vocabulaire

Ne pas confondre un ensemble et ses éléments. Une erreur fréquente en 2025 consistait à confondre la définition d’un ensemble avec la relation que vérifient ses éléments. Pour définir un sous-ensemble E, la bonne forme est E = {M ∈ F tel que M vérifie la relation R}.

Stabilité par combinaison linéaire ≠ linéarité d’une application. Pour montrer qu’un sous-ensemble F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier (1) 0_E ∈ F, (2) F stable par addition, (3) F stable par multiplication externe. Cette démonstration est souvent confondue avec la preuve de linéarité d’une application selon le jury.

Polynôme annulateur et valeurs propres. Si P est un polynôme annulateur d’une matrice A, alors Sp(A) ⊂ racines(P). L’implication inverse est FAUSSE en général. Il faut vérifier séparément que chaque racine du polynôme annulateur est bien une valeur propre de A, en exhibant un vecteur propre ou en calculant le noyau de A − λI.

Produit matriciel non commutatif. L’identité (A + M)² = A² + 2AM + M² est FAUSSE en général : le bon développement est (A + M)² = A² + AM + MA + M². Elle n’est vraie que lorsque A et M commutent, ce qui n’est pas donné par défaut. Cette erreur a été très fréquente en 2025.

Convergence des intégrales impropres

Protocole complet à chaque fois. Pour justifier la convergence d’une intégrale impropre, le jury attend systématiquement (1) la continuité de la fonction sur l’intervalle d’intégration, (2) son signe (positivité ou non), (3) l’application d’un critère (comparaison, négligeabilité, équivalent). Le raccourci « la limite tend vers 0 donc l’intégrale converge » est FAUX et systématiquement sanctionné.

Équivalents usuels à maîtriser. L’erreur d’écrire que t^n·e^(−t) est équivalent à 1/t² en +∞ est récurrente. Le bon réflexe : t^n·e^(−t) est négligeable devant 1/t² en +∞ par croissance comparée, ce qui donne la convergence par comparaison avec une intégrale de Riemann.

Croissances comparées : citer la formule exacte. « lim ln(u)/u = 0 quand u → +∞ » est la formule du cours à invoquer explicitement. Le « par croissance comparée » sans référence précise est pénalisé selon le rapport 2025.

Limite de l’intégrale ≠ intégrale de la limite. On ne peut pas intervertir limite et intégrale sans théorème. Lorsqu’on cherche la limite d’une intégrale impropre dépendant d’un paramètre, il faut passer par un encadrement ou un théorème d’interversion, jamais par un passage à la limite direct sous l’intégrale.

Ne pas confondre croissance et linéarité de l’intégrale, ni croissance et relation de Chasles. Ce sont trois propriétés distinctes à citer avec le bon nom.

Probabilités et densités

Définition d’une densité. Pour prouver qu’une fonction f est une densité, il faut (1) f continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points, (2) f positive, (3) l’intégrale de f sur R converge et vaut 1. En 2025, beaucoup d’étudiants ont expédié la continuité ou oublié la convergence de l’intégrale.

Espérance : convergence absolue. Pour prouver l’existence de E(X), il faut démontrer la convergence absolue de l’intégrale impropre, et non simplement calculer sa valeur. La convergence absolue est une condition explicite du cours, pas un détail technique.

Fonction de répartition : traiter tous les cas. Lors du calcul d’une loi par fonction de répartition, traiter séparément x < 0 et x ≥ 0 (ou selon le support), préciser la fonction de répartition des lois usuelles utilisées, et surveiller le signe lors des manipulations d’inégalités.

Événements conditionnels. L’écriture [Z ≤ x]_{[Y=i]} n’a pas de sens mathématique. Utiliser la notation P([Z ≤ x] ∩ [Y=i]) / P([Y=i]) ou P([Z ≤ x] | [Y=i]).

Python et SQL

Utiliser la fonction demandée, pas une autre. Si l’énoncé impose numpy.random.random(), ne pas utiliser binomial() ou une autre fonction même équivalente. Le jury est explicite sur ce point dans le rapport 2025.

SQL : comprendre les concepts, pas juste écrire en anglais. Le jury 2025 a été très sévère sur les jointures et les clés primaires. Une clé primaire est un attribut (ou combinaison d’attributs) qui identifie de façon unique chaque ligne. Un nom de personne seul n’est pas une bonne clé primaire (plusieurs personnes peuvent porter le même nom). Les INNER JOIN doivent être syntaxiquement corrects : ON pour la jointure, WHERE uniquement pour le filtrage.

Tracés graphiques

Mettre des unités sur les axes. Sans unités, le correcteur ne peut pas lire les valeurs clés (F(0), tangentes, asymptotes). Faire les courbes assez grandes et tracer les tangentes correctement, pas « au hasard » comme le déplore le jury 2025.

Gestion du temps et stratégie

Ne pas bâcler pour en faire beaucoup. Le jury est catégorique : il vaut mieux traiter moins de questions mais BIEN, que multiplier les réponses approximatives. Une copie fournie n’est pas forcément une bonne copie. Bâcler les raisonnements est contre-productif.

Exploiter les questions de cours. Dans chaque exercice, le jury insère des questions de difficulté variée, notamment des questions de connaissance du cours simples qui permettent de prendre des points sûrs. Les repérer dès la lecture et ne pas les négliger.

Ne pas négliger les questions Python et SQL. Les questions informatiques sont souvent plus accessibles que les questions de démonstration pure. Elles représentent plusieurs points faciles à prendre et ne nécessitent pas de maîtriser la démonstration des questions précédentes. Même un candidat bloqué sur une question théorique peut répondre à une question de simulation ou de requête SQL.

Lire l’intégralité de l’exercice avant de commencer. Plusieurs questions sont guidées par des indications (« on pourra procéder par récurrence », « on pourra écrire a − t = (a − 1) + (1 − t) »). Ces indications sont précieuses et peuvent débloquer des questions qui semblent difficiles à première vue.

Répartir le temps sur les trois exercices. L’épreuve est structurée en trois exercices de valeur sensiblement égale. Il est essentiel de ne pas s’enliser sur un seul exercice et de garder du temps pour aborder les deux autres, même partiellement.

Soigner la rédaction. Le jury de Mathématiques Appliquées valorise explicitement la qualité rédactionnelle dans son barème. Une réponse partiellement juste mais bien rédigée sera mieux notée qu’une réponse correcte mais incompréhensible. Chaque affirmation doit être justifiée par une référence au cours ou à une question précédente.

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Dans cet article, nous te proposons un tour d’horizon des principales formules de trigonométrie ainsi que des conseils pour les assimiler efficacement. Tu peux retrouver sur le site les programmes officiels de maths approfondies et de maths appliquées en prépa ECG !

Qu’est-ce que la trigonométrie ?

La trigonométrie repose sur l’étude des relations entre les angles et les fonctions trigonométriques comme le sinus, le cosinus et la tangente. Ces fonctions périodiques décrivent les oscillations, les rotations et les transformations, jouant un rôle clé dans l’analyse mathématique et les modèles physiques.

Les principales fonctions trigonométriques

Définitions dans le cercle trigonométrique

• Sinus : $\sin(\theta)$ est l’ordonnée du point correspondant à l’angle $\theta$ sur le cercle unité.
• Cosinus : $\cos(\theta)$ est l’abscisse de ce point.
• Tangente : $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$, définie sauf lorsque $\cos(\theta) = 0$.

Relations fondamentales

• Identité de Pythagore : $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
• Tangente et secante : $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$.

À lire aussi : consulte notre méthode pour gagner deux à trois points en apprenant à bien analyser un sujet de maths !

Les principales formules trigonométriques

Formules d’addition et de soustraction

• $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
• $\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)$
• $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)$
• $\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
• $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}$
• $\tan(a – b) = \frac{\tan(a) – \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$

Formules de duplication

• $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
• $\cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a) = 2\cos^2(a) – 1 = 1 – 2\sin^2(a)$
• $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 – \tan^2(a)}$

Formules de réduction d’amplitude

• $\sin(a) = \pm\sqrt{1 – \cos^2(a)}$
• $\cos(a) = \pm\sqrt{1 – \sin^2(a)}$

Formules de conversion produit-somme

• $\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a – b) – \cos(a + b)]$
• $\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a – b) + \cos(a + b)]$
• $\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)]$

Résolution d’équations trigonométriques

Équations triviales

• $\sin(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
• $\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) = 0 \Rightarrow x = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$

Équations simples en trigonométrie

Pour résoudre des équations simples, comme $\sin(x) = \cos(x)$, il est utile de transformer l’équation avec les identités fondamentales. Exemple :

$\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}$.

On espère que cet article pourra te servir de fiche afin de retenir facilement les principales formules trigonométriques. Pour ne rien rater de nos articles sur PrépaECG, abonne-toi à notre compte Instagram !

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Au lycée, le niveau de maths te paraissait peut-être accessible, mais en prépa, les exigences montent d’un cran. Pas de panique pour autant : les enseignants s’efforcent généralement de faciliter la transition entre la terminale et la prépa grâce à des méthodes progressives, pour que l’entrée dans le vif du sujet se fasse sans trop de difficultés.

Faut-il prendre de l’avance sur le programme maths approfondies en  prépa ECG ?

La réponse est non ! Il est inutile de vouloir anticiper les notions complexes du programme de maths approfondies en prépa ECG pendant les vacances. En revanche, il est crucial de consolider ton programme de maths de terminale. Maîtriser ces bases te permettra d’aborder sereinement le début de l’année, sans accumuler de retard.

Si tu es en première, cet article peut également t’être utile pour comprendre ce que les maths approfondies en prépa ECG impliquent. Comparées aux maths appliquées, elles demandent un raisonnement plus abstrait et une rigueur accrue. Si tu hésites encore entre les deux options, ce guide te donnera des clés pour faire ton choix en toute confiance.

Consulte nos conseils pour aborder au mieux ta première année en prépa ECG ici !

Bien choisir entre maths approfondies et maths appliquées

Les maths approfondies conviennent particulièrement aux étudiants qui aiment les raisonnements théoriques et les démonstrations complexes. En revanche, les maths appliquées privilégient une approche plus concrète et pratique. Quelle que soit ton option, sache que les mathématiques auront un rôle prépondérant dans ta réussite aux concours.

Retrouve dans cet article le programme des maths appliquées en prépa ECG !

Le programme des maths approfondies en prépa ECG

Les maths approfondies en prépa ECG sont généralement plus exigeantes et abstraites que les maths appliquées. Cette option est moins recommandée pour les élèves qui se sentent « justes » en maths en terminale ou qui n’éprouvent pas un intérêt particulier pour cette matière. En principe, le programme de maths approfondies intègre aussi un peu moins d’informatique que celui des maths appliquées. Comme dans cette dernière option, le programme est organisé en 4 semestres.

De nombreux concepts du programme de maths approfondies se retrouvent dans celui des maths appliquées. Cependant, même si certaines notions comme les séries, l’intégration, ou les fonctions de plusieurs variables sont communes aux deux options, elles sont traitées de façon plus approfondie en maths approfondies.

A lire aussi : cette astuce te fera gagner jusqu’à 3 points en maths HEC au concours en prépa ECG !

Programme du semestre 1

I – Raisonnement et vocabulaire ensembliste

1. Éléments de logique
2. Raisonnement par récurrence et calcul des sommes et des produits
3. Ensembles, applications

II – Polynômes

III – Algèbre linéaire

1. Calcul matriciel
2. Systèmes linéaires
3. Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

IV – Suites de nombres réels

1. Vocabulaire sur l’ensemble R des nombres réels
2. Exemples de suites réelles
3. Convergence des suites réelles – Théorèmes fondamentaux

V – Fonctions réelles d’une variable réelle

1. Limite et continuité d’une fonction d’une variable en un point
2. Étude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle
3. Dérivation
4. Intégration sur un segment

VI – Probabilités sur un ensemble fini

1. Généralités
2. Variables aléatoires réelles finies
3. Lois usuelles

Programme du semestre 2

À l’image des maths appliquées, le deuxième semestre en maths approfondies permet d’entrer davantage « dans le vif du sujet » avec de nouvelles notions et des compléments. Les étudiants découvriront, par exemple, les séries et auront le plaisir d’aborder les développements limités ainsi que les fameuses formules de Taylor.

I – Algèbre linéaire

1. Espaces vectoriels de dimension finie
2. Compléments sur les espaces vectoriels
3. Applications linéaires

II – Compléments d’analyse

1. Étude asymptotique des suites
2. Comparaison des fonctions d’une variable au voisinage d’un point
3. Séries numériques
4. Intégrales sur un intervalle quelconque
5. Dérivées successives
6. Formules de Taylor
7. Développements limites
8. Extremum
9. Fonctions convexes
10. Graphes de fonctions

III – Probabilités sur un ensemble quelconque

1. Espace probabilisé
2. Variables aléatoires réelles discrètes
3. Lois de variables aléatoires discrètes usuelles
4. Couples de variables aléatoires réelles discrètes
5. Convergences et approximations

IV – Informatique

1. Programmation d’algorithmes et de fonctions
2. Commandes exigibles
3. Liste de savoir-faire exigibles en première année

Programme du semestre 3

I – Algèbre linéaire et bilinéaire

1. Compléments d’algèbre linéaire
   a) Somme directe de sous-espaces vectoriels
   b) Changement de base
   c) Trace
2. Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées, réduction
   a) Vecteurs propres et espaces propres
   b) Recherche d’éléments propres
   c) Propriétés générales
   d) Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
3. Algèbre bilinéaire
   a) Produit scalaire
   b) Espaces euclidiens

II – Fonctions réelles définies sur Rn\mathbb{R}^nRn

1. Introduction aux fonctions définies sur Rn\mathbb{R}^nRn
2. Calcul différentiel
   a) Dérivées partielles, gradient
   b) Recherche d’extrémum : condition d’ordre 1

III – Compléments de probabilités ; couples et n-uplets de variables aléatoires réelles

1. Compléments sur les variables aléatoires réelles
2. Introduction aux variables aléatoires à densité
3. Lois de variables aléatoires à densité usuelles
4. Variance des variables aléatoires à densité
5. n-uplets de variables aléatoires réelles ; généralisation des propriétés de l’espérance et de la variance

Programme du semestre 4

Le dernier semestre de maths approfondies en prépa ECG se concentre principalement sur l’algèbre bilinéaire, les fonctions à plusieurs variables et les probabilités. Ce semestre passe généralement très rapidement, car les concours approchent dès le début de l’année !

I – Compléments d’algèbre bilinéaire

1. Endomorphismes symétriques d’un espace euclidien, matrices symétriques
2. Projection orthogonale
3. Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

II – Fonctions réelles de n variables définies sur un ouvert de R^n ; recherche d’extrema

1. Fonction de n variables définie sur une partie de R^n
2. Compléments sur les fonctions de classe C^2 sur un ouvert de R^n
3. Recherche d’extrema

III – Probabilités : convergences, estimation

1. Convergences et approximations
2. Estimation

IV – Python

1. Liste des exigibles
2. Liste des thèmes

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C’est bien sûr normal si tu ne comprends pas tous les titres de chapitres, l’essentiel est de maîtriser celles du baccalauréat afin de pouvoir avoir des bases solides pour prendre en main les nouveaux concepts une fois en prépa. Il faut profiter de la période des vacances d’été et trouver un équilibre, pour se reposer et s’épanouir mais également pour se préparer à une rentrée potentielle en prépa pendant le mois de septembre.

Les maths appliquées sont très importantes aux concours et occupent une grosse place dans les coefficients des écoles et peuvent impacter tes chances d’admission dans les deux sens. Tu passeras une grande partie de ta prépa à travailler les mathématiques, il est donc important de bien connaître le programme pour mieux anticiper tes deux années !

Pour tout savoir sur la prépa ECG, consulte ici notre page dédiée à la filière !

Le programme des maths appliquées en prépa ECG

Les maths appliquées sont généralement plus accessibles et concrètes que les maths approfondies, et elles incluent une part plus importante d’informatique. En prépa ECG, le programme de maths appliquées est structuré en semestres, avec un total de 4 semestres répartis sur les deux années de prépa.

Bien que de nombreux concepts soient déjà connus des élèves de terminale (comme « étude de fonctions » ou « suites numériques réelles »), ne vous y méprenez pas : le programme de terminale est rapidement revu (en 1 ou 2 semaines maximum), et les notions abordées en prépa sont approfondies bien au-delà de ce qui est vu au lycée (surtout en mathématiques approfondies).

Programme du semestre 1 : maths appliquées prépa ECG

I – L’espace Rⁿ, sous-espaces vectoriels et applications linéaires

1. Espace Rⁿ
2. Sous-espaces vectoriels de Rⁿ
3. Applications linéaires de Rⁿ dans Rᵐ

II – Calcul différentiel et intégral

1. Calcul différentiel
2. Représentations de graphes des fonctions d’une variable sur un intervalle
3. Équations différentielles linéaires à coefficients constants
4. Intégration sur un segment

III – Étude élémentaire des séries

1. Séries numériques à termes réels
2. Séries numériques usuelles

IV – Probabilités – Variables aléatoires réelles

1. Espace probabilisé
2. Généralités sur les variables aléatoires réelle
3. Variables aléatoires discrètes
4. Lois usuelles

V – Informatique

1. Graphes finis, plus courts chemins
2. Simulation de phénomènes aléatoires

VI – Annexe : Langage Python

1. Types de base
2. Structures de contrôle
3. Listes
4. Utilisation de modules et de bibliothèques

Programme du semestre 3 : maths appliquées prépa ECG

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Quelques conseils généraux : prendre son temps !

Qu’il s’agisse de ton tout premier DS de mathématiques en prépa ECG ou de ton 5^ème concours blanc, l’ambiance est bien souvent similaire dans la salle d’examen. À peine les sujets distribués, les étudiants plongent à toute vitesse dans les premières des 40 à 60 questions que comporte l’examen. Il s’agit là d’une erreur qui peut coûter très cher, particulièrement sur les épreuves les plus exigeantes, sauf à être particulièrement excellent dans la matière.

Au contraire, voici la recette miracle que j’ai utilisée pour intégrer l’ESCP et qui m’a permis de décrocher en maths de très bonnes notes sans être excellent : prendre 10 à 15 minutes en début d’épreuve afin de lire et comprendre en entier le sujet.

Étape 1 : lire en entier le sujet

Il est 8h00 (ou 14h00) et tu viens de retourner ton sujet de maths. Plutôt que te précipiter sur la question 1.a. de la Partie 1, lis le sujet en entier. Identifie les différents thèmes qui y sont traités : probabilités discrètes ou continues, algèbre bilinéaire, etc. Cela te permettra déjà d’avoir une idée de ta familiarité avec le sujet, et pour une épreuve type EDHEC, emlyon ou Ecricome de noter les exercices (ou le problème) avec lesquels tu es le plus à l’aise. Sur ces épreuves, commence toujours par les exercices ou la partie du problème avec laquelle tu es le plus en confiance.

Objectif : les sujets possèdent toujours un fil conducteur, qui ne se perçoit pas toujours aux premières questions, notamment en maths HEC. Lire le sujet en entier te permettra d’en comprendre l’objectif et la démonstration sous-jacente.

Étape 2 : rentabiliser ton crayon à papier

J’ai utilisé cette technique dans 100% de mes DS de deuxième année, et cela m’a fait gagner un temps fou (et beaucoup de points précieux). Après avoir lu en entier le sujet, reprend les questions une par une depuis le début. Dessine un symbole (une croix, un tiret, ou autre) devant toutes les questions de l’énoncé pour lesquelles tu penses être sûr à 100% de la méthode à employer, et/ou pour les questions réputées « grands classiques ». Parcours ainsi la totalité du sujet.

Exemples : inversions de matrices, démonstrations simples, trouver une densité, montrer que « XXX » est un produit scalaire, question sur les intégrales de Wallis, etc.

Pourquoi écrire ces différents symboles ? Les questions marquées d’une croix (ou du symbole choisi) seront les questions à traiter absolument lors de ton examen. À quelques minutes de la fin de l’épreuve, avoir pré-identifier les questions « simples » te fera gagner un temps précieux pour les traiter en priorité. Cela t’éviteras également de perdre un temps fou sur des questions infaisables : car oui, n’hésite pas à passer certaines questions trop difficile ou trop chronophages.

Bien souvent, tu remarqueras que toutes les questions que tu auras le temps de traiter en 4h seront les questions que tu auras identifiées lors de cette phase ! Avec l’expérience, tu seras même capable d’estimer ta note avec une marge d’erreur en fonction de la part du sujet que tu auras traitée et identifiée grâce à tes symboles.

L’astuce ultime pour grapiller des points en maths au concours

Cet article se termine par un dernier conseil très simple et pourtant souvent ignoré des candidats aux concours. Il peut être présenté en deux théorèmes que tu peux apprendre par cœur :

1. « Parmi les dernières questions du sujet se cachent souvent des questions (très) simples ».
2. « Les premières questions ne sont pas toujours les plus simples, voire peuvent être (très) compliquées ».

Ces deux conseils sont particulièrement vrais sur les épreuves les plus exigeantes comme les maths HEC. Les sujets étant globalement impossibles à terminer, les concepteur y cachent souvent des questions (très) simples en toutes fin de sujet, que les candidats peu précautionneux n’auront pas pris le temps d’identifier en début d’épreuve.

Exemples : inversion de matrice, application simple d’un résultat complexe donné par l’énoncé, etc.

Au contraire, les premières questions sont parfois loin d’être évidentes ! Ne baisse pas les bras si tu n’arrives pas à traiter la première partie d’une épreuve, car une perte de confiance est vite arrivée (et permet de sélectionner les meilleurs candidats !). Tu as généralement suffisamment d’éléments donnés par l’énoncé pour commencer la partie suivante sereinement.

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Avec une méthode adaptée et un peu de recul, tu verras que progresser en mathématiques est à ta portée. Voici quelques conseils concrets pour apprivoiser cette matière et optimiser tes chances de succès.

Construire des bases solides dès la première année

L’une des erreurs fréquentes que l’on fait en prépa est de penser que les chapitres se succèdent sans forcément se croiser. Or, les mathématiques sont une matière cumulative : les concepts appris en début d’année, voire en première et terminale, sont essentiels pour comprendre les notions plus avancées. Il est donc crucial de t’assurer que tu maîtrises parfaitement les fondamentaux.

Imagine, par exemple, que tu abordes un chapitre sur les endomorphismes sans bien maîtriser les chapitres sur les matrices. Très vite, tu risques d’être dépassé et de ne plus suivre le fil du cours. Il est donc important de revenir régulièrement sur tes lacunes, même si cela te semble rébarbatif. Révise les bases de l’algèbre, de l’analyse et des probabilités avant d’aborder de nouveaux chapitres.

Astuce PrépaECG : fais une liste des notions-clés que tu dois absolument maîtriser (développement limité, théorème des valeurs intermédiaires, somme de deux variables aléatoires, etc.). Pour chaque notion, trouve un exercice type, simple mais représentatif, et résous-le régulièrement jusqu’à ce qu’il devienne instinctif.

Répartir ton travail sur le long terme et ne pas céder à l’urgence

La tentation en prépa est souvent de travailler en fonction des urgences : tu as un DS dans deux jours, tu te mets à réviser frénétiquement les mathématiques en espérant couvrir tout le programme en une seule nuit. Cela peut fonctionner pour quelques semaines, ou pour un an, mais tu finiras par t’épuiser et par t’embrouiller face à l’accumulation des connaissances.

L’apprentissage des mathématiques, comme toute autre discipline, repose sur la régularité. Prends l’habitude de réviser chaque jour un peu, plutôt que d’accumuler les heures de travail intensif juste avant un contrôle. Non seulement tu retiendras mieux sur le long terme, mais tu réduiras aussi ton stress.

Astuce PrépaECG : consacre chaque jour minimum entre 1 heure et 2 heures à tes révisions de mathématiques, en dehors des heures de cours durant ton travail personnel. Pendant ce laps de temps, relis tes fiches, refais un exercice vu en classe, ou explore un exercice de niveau plus difficile pour te mettre au défi.

Approfondir les concepts sans se noyer dans les détails

Il est facile, en prépa, de tomber dans le piège de vouloir tout comprendre en profondeur, au point de s’attarder des heures sur une démonstration ou un exercice complexe. Bien sûr, la rigueur intellectuelle est essentielle, mais attention à ne pas perdre de vue l’essentiel. Pour réussir les concours, tu dois avant tout savoir mobiliser les bons outils au bon moment, et non devenir un docteur en mathématiques.

Prends le temps de bien comprendre les démonstrations, mais ne t’y perds pas. L’important est de savoir les reproduire et de saisir l’intuition derrière les résultats. Cela te sera beaucoup plus utile le jour de l’épreuve que de t’être noyé dans une démonstration interminable, que tu auras 9 chances sur 10 d’oublier.

Astuce PrépaECG : lors de tes révisions, essaie de formuler en une ou deux phrases l’intuition derrière chaque exercice que tu refais. Par exemple, pour un exercice classique sur les intégrales de Wallis, essaie de retenir la démarche et la logique des résultats. Les questions sont quasiment toujours identiques et cet exercice tombe tous les ans ou presque !

Ne pas négliger les exercices d’entraînement

Si la théorie est indispensable, c’est dans la pratique que tu feras de réels progrès. En mathématiques, il n’y a pas de secret : plus tu t’entraînes, plus tu gagnes en automatismes et en rapidité. Il est crucial de multiplier les exercices pour bien assimiler les méthodes de résolution et gagner en assurance.

Ne te limite pas aux exercices de ton professeur ou de tes manuels s’ils sont insuffisants en quantité. Va chercher des sujets de concours des années précédentes, pioche dans différents ouvrages, et entraîne-toi sur des exercices de niveau croissant. Commence par les plus simples pour consolider tes acquis, puis monte progressivement en difficulté.

Astuce PrépaECG : à partir de la deuxième année chaque semaine, fixe-toi l’objectif de faire au moins un sujet complet d’annales de concours. Cela te mettra dans les conditions réelles de l’épreuve, te permettra d’évaluer ton niveau, et te donnera des repères pour gérer ton temps lors des DS ou du concours.

Solliciter de l’aide lorsque c’est nécessaire

Il est tout à fait normal de buter sur des concepts ou des exercices. Ce qui compte, c’est de ne pas rester bloqué. Sollicite tes camarades, ton professeur ou même des forums en ligne pour éclaircir tes incompréhensions. L’entraide en prépa est une clé précieuse pour avancer ensemble et surmonter les obstacles.

Par ailleurs, certaines notions méritent une explication plus approfondie. Si tu n’as pas compris un point de cours, n’attends pas la veille du DS pour poser des questions. Agis rapidement pour ne pas accumuler de retard.

Astuce PrépaECG : organise des sessions de travail en petit groupe avec tes amis pour résoudre ensemble les exercices que tu trouves difficiles. Chacun peut apporter sa vision des choses, et tu apprendras souvent plus vite en échangeant avec les autres.

Gérer son stress et garder confiance durant deux ans

Enfin, n’oublie pas qu’apprendre les mathématiques est un marathon, pas un sprint. Il est normal de traverser des moments de doute, voire d’échec. L’important est de persévérer et de ne pas te laisser submerger par le stress. Les mathématiques sont une matière exigeante, mais elles sont accessibles avec du travail et de la méthode. Pour ma part je n’ai jamais fait partie de la tête de classe en maths durant deux ans, mais la rigueur et la régularité m’ont permis d’intégrer l’ESCP et de performer aux concours le jour J.

Reste confiant dans tes capacités. Les efforts que tu fournis au quotidien porteront leurs fruits, même si tu ne vois pas immédiatement les résultats.

Astuce PrépaECG : en cas de baisse de moral, prends le temps de relire tes premiers exercices de l’année. Tu réaliseras le chemin que tu as déjà parcouru et cela te redonnera confiance pour la suite.

En suivant ces conseils, tu t’approprieras les mathématiques de manière progressive et méthodique, et tu mettras toutes les chances de ton côté pour réussir les concours. Pour ne rater aucun de nos conseils méthodologiques, abonne-toi à notre newsletter :

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